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martes, 17 de mayo de 2016

SISTEMA DIÉDRICO CON LÍNEA DE TIERRA Y SISTEMA LIBRE

En primer lugar vamos a la definición:

El sistema diédrico es un método de representación geométrica de los elementos del espacio tridimensional sobre un plano mediante la proyección cilíndrica ortogonal sobre dos planos de proyección ortogonales. 

Este sistema de planos se denomina diedro, de forma que uno de los planos se abate sobre el segundo permitiendo la representación de las proyecciones de los elementos en un único plano (Figura 1). 

En caso de fijar la posición de los planos de proyección, aparecerá una línea de corte de ambos planos denominada “línea de tierra”. En caso de mantener libre la posición de los planos de proyección, nos referiremos al sistema diédrico directo, sistema libre, o sistema sin línea de tierra.


Figura 1 




En el sistema diédrico con línea de tierra emplearemos fundamentalmente los abatimientos mientras que en el sistema libre aplicaremos los teoremas ya conocidos de Thales (para conocer la forma) y Pitágoras (para conocer la medida) (Figura 2).


Figura 2



A partir de esta configuración podemos aplicar la relación entre los puntos como una relación de Thales (Figura 3)

Figura 3

Para ver las diferencias entre el uso o no de la línea de tierra observamos el ejemplo de la figura 4. Partiendo de las proyecciones ortogonales, el caso tradicional (figura de la izquierda) es el uso de la línea de tierra, la cual aparece como la intersección de los planos de proyección (horizontal y vertical). En el ejemplo se representan dos puntos situados en la misma proyección respecto al plano horizontal (H), donde la situación relativa entre ambos puntos se establece por la distancia vertical que mantienen (Dz). 

En la figura de la derecha corresponde al concepto del sistema libre, donde se observa que el desplazamiento del plano de proyección horizontal (H1) mantiene la misma distancia relativa entre los puntos (Dz).

Por tanto, en el sistema directo, lo importante no es la situación de los elementos respecto a la intersección de los planos de proyección horizontal y vertical, sino la situación relativa de los elementos entre sí.

Figura 4
















A partir de aquí se desarrolla todo el sistema partiendo del elemento básico del punto. En el caso de una recta, la proyectaremos como la unión de dos puntos, mientras que para un plano se usarán tres puntos. 

En la figura 5 se representa una recta (r). En la figura de la izquierda está dibujada con la línea de tierra, a partir de la cual se consideran las coordenadas y, z de las proyecciones de los puntos A, B. En la figura de la derecha se representa esa misma recta en el sistema libre sin el uso de la línea de tierra, a partir de las coordenadas relativas entre los dos puntos. Estas coordenadas se mantendrán constantes independientemente de la posición de la línea de tierra.

Figura 5



Para conocer la verdadera magnitud (VM) de la recta r entre los puntos AB, en caso de usar la línea de tierra se realiza un abatimiento de un plano de perfil (P) que contenga la recta (r). En la figura 6 aparece representada la operación para la recta ejemplo

Figura 6



En el caso del diédrico directo tenemos que analizar el problema desde el punto de vista de las coordenadas relativas de los puntos. En la figura 7 se representa la recta ejemplo. Se puede observar la construcción de un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es la recta en verdadera magnitud (VM), el cateto mayor es la proyección de la recta sobre el plano horizontal (r’) y el cateto menor es la diferencia relativa de la coordenada Z de los dos puntos A,B (Dz). A partir de esta construcción y usando el principio de Pitágoras, se puede calcular la verdadera magnitud en el sistema directo, construyendo la hipotenusa a través de los datos conocidos de los catetos. En la Figura 8 se ha dibujado la solución.


Figura 7




Figura 8



Una vez que hemos visto su definición vamos a analizar los siguientes conceptos fundamentales

Línea de máxima pendiente de un plano:


Se define como la recta que pertenece al plano (P) y que forma el mayor ángulo con el plano horizontal (H). Por tanto, corresponderá a una recta cuya proyección horizontal será perpendicular a la traza horizontal del plano que la contiene, así como de cualquier otra recta horizontal del plano (Figura 9)

Figura 9



Por tanto, para calcular la línea de máxima pendiente de un plano tanto con línea de tierra como en el sistema libre, tendremos que realizar la intersección de dicho plano con un plano horizontal, para posteriormente trazar la recta perpendicular a la proyección horizontal de la recta intersección de ambos planos (Figura 10)

Figura 10




Abatimientos:

Para el análisis de los abatimientos vamos a desarrollar un caso genérico. Se basa en la construcción de un triángulo equilátero perteneciente al plano H, con uno de los lados paralelo a la proyección horizontal de dicho plano, de lado 10 cm y con baricentro en el punto P.


Su desarrollo mediante el uso de la línea de tierra (Figura 11) pasa por el abatimiento del plano H tomando su proyección horizontal (h’) como eje de giro. A partir del abatimiento del baricentro P, se construye el triángulo, el cual se traslada a las proyecciones horizontales y verticales mediante rectas contenidas en el plano. 

Figura 11



En el caso del sistema libre (Figura 12) para su construcción solo se necesita de la proyección horizontal del plano y de las coordenadas z relativas de cada punto. A partir de estos datos, trasladamos el punto (P) del baricentro a verdadera magnitud (Po). Construimos el triángulo, para posteriormente trasladar mediante afinidad los vértices a la proyección horizontal. Finalmente proyectamos su vista vertical mediante las coordenadas z de cada punto tomadas en la verdadera magnitud.

Figura 12


miércoles, 6 de abril de 2016

LA INVERSIÓN EN GEOMETRÍA MÉTRICA

Hola a todos!

Hoy quiero hablaros de un tipo de transformación muy interesante en el dibujo técnico basada en el concepto de potencia, y con muchas aplicaciones en la resolución de los problemas angulares de puntos, rectas y circunferencias: La inversión

En primer lugar ¿que es una inversión?. Podemos definirla como una transformación conforme en la que un punto (A) está alineado con su inverso (A') respecto a un centro de inversión (I), de forma que el producto de las distancias es una constante denominada potencia de inversión (K):

IA*IA'=K2




Por tanto, para calcular la inversa de un punto respecto a un centro de inversión basta con calcular la potencia respecto a una circunferencia de radio la raiz de la potencia. En circunferencia aparecen puntos dobles ( coincide un punto y su inversa) y es denominada "circunferencia de autoinversión"






En este ejemplo estamos tratando de Inversión positiva, donde el punto (A) se encuentra dentro de la circunferencia de inversión, el punto invertido (A') en el exterior, y los dos puntos están alineados en el mismo margen respecto al centro de inversión (I)

Una de las cualidades de los puntos de inversión es que son concíclicos, esto es, se encuentran dentro de una circunferencia (c). Esta circunferencia coincide con su inversa (c') y tiene la cualidad de ser ortogonal con la circunferencia de autoinversión.
































Una vez que hemos visto una definición de inversión de punto paso a mostraros la inversión de rectas y circunferencias según la situación del centro de inversión (I)

CASO 1: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En este caso la inversión de la recta (r) es la propia recta (r=r'). En el caso de inversión positiva los puntos y sus inversos aparecen a lo largo de la recta, según la potencia de inversión (definida a través del radio de la circunferencia de inversión)














                                                                                                           








CASO 2: INVERSIÓN DE UNA RECTA QUE NO CONTIENEN EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa es una circunferencia (r') que SI contiene el centro de inversión (I pertenece a c) cuyo centro se sitúa en la recta (b) perpendicular a la recta trazada desde el centro de inversión (I)




               


















CASO 3: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

Es el opuesto al caso 2. De este modo, la inversa de la circunferencia (c) es una recta que no pasa por el centro de inversión (I) y que es perpendicular al diámetro de la circunferencia que contiene el centro de inversión.



           




















CASO 4: INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE NO CONTIENE EL CENTRO DE INVERSIÓN

En esta situación la inversa de la circunferencia (c) es otra circunferencia (c') en la cual el centro de inversión coincide con el centro de homotecia






       
















Este caso corresponde con la inversión positiva. En el caso de la inversión negativa (I-) tendríamos que unir los extremos opuestos de la circunferencia y su invertida


¿COMO PODEMOS EMPLEAR LA INVERSIÓN EN LA GEOMETRÍA MÉTRICA?

Una de las propiedades más interesantes es que la inversión se trata de una transformación conforme, donde el ángulo que forman dos elementos es el mismo que el que forman los elementos transformados.

















       












En siguientes post, analizaremos algunas aplicaciones de estas propiedades en la resolución de problemas de tangencias y ortogonalidades entre circunferencias, puntos y rectas, a través de los denominados "problemas de Apolonio"

Para terminar este primer acercamiento os propongo un sencillo ejercicio de inversión de figuras geométricas.

lunes, 28 de marzo de 2016

martes, 26 de enero de 2016


GEOMETRÍAS EQUIVALENTES


Podemos definirlas como aquellas que tienen diferente forma pero el mismo área. Para su construccion recurrimos a nuestros conocidos Pitágoras y Thales, estableciendo la "media proporcional entre los diferetes lados de un triángulo rectángulo"

En el ejemplo mostrado, a partir de un triángulo recto ABC (color azul) se ha realizado un cuadrado equivalente HJEI (color rojo), así como un rectángulo equivalente de proporción 1:2 EFLM (color verde). 

Si deslizais el punto rojo a lo largo del lado mayor del triángulo rectángulo, se modificarán las superficies, pero siempre serán equivalentes entre las diferentes figuras.



lunes, 16 de noviembre de 2015

ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

Ángulo central de una circunferencia

Dada una circunferencia, podemos definirlo como el haz de ángulos formado por dos radios de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión se sitúa en el centro (O) de la circunferencia. El valor de cada ángulo es igual al arco de circunferencia que intersecta. En el ejemplo hemos trazado los radios a, b que definen el ángulo central (α) igual a la medida del arco AB





Ángulo inscrito

A diferencia del ángulo central, el ángulo inscrito está constituido por el haz de ángulos formados por dos lados que se corresponden con dos cuerdas de la circunferencia que intersectan en un punto (P) de dicha circunferencia. Por ello, el vértice de unión de estos lados se sitúa en el perímetro de la circunferencia. El valor de cada uno de estos ángulos corresponde a la mitad del arco de circunferencia que intersecta.

En el ejemplo hemos trazado las cuerdas c, d que definen el ángulo central (β), igual a la mitad de la medida del arco AB.



A partir de estas dos definiciones se puede decir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco AB. Para demostrarlo procedemos a superponer ambos ángulos y a estudiar sus relaciones geométricas.

  • Trazamos una recta que pasa por los vértices de los ángulos inscrito y central (P, O) y que corta a la circunferencia en el punto C.                                                              
  • De esta forma el ángulo central (α) queda dividido en dos ángulos (α1, α2). Igualmente el ángulo inscrito (β) se divide en dos ángulos (β1, β2). Del triángulo resultante (OBC) establecemos relaciones entre sus ángulos, sabiendo que el triángulo (PBC) es rectángulo.



  • Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto, para el triángulo isósceles resultante (OBC) establecemos la siguiente relación:

        α1+(90º-β1) + (90º-β1) = 180º; α1=2β1

        Del mismo modo, para el triángulo isósceles OAC podemos establecer lo siguiente:

        α2+(90º-β2) + (90º-β2) = 180º; α2=2β2

       A partid de estas dos formulaciones obtenemos la relación entre los dos ángulos:

       α=α1+α2=2β
       β= 1/2 α
  


Ángulo semiinscrito

Dada una circunferencia y un punto A de la misma, podemos definir el ángulo semiinscrio como el haz de ángulos formados por la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto A, y las cuerdas de la circunferencia que pasen por ese punto. 

En el ejemplo se ha trazado a partir del punto A la tangente a la circunferencia y la cuerda que pasa por los puntos A,B. El valor del ángulo formado α es igual a la mitad de la medida del arco BA








lunes, 19 de octubre de 2015

EJERCICIOS DE DIBUJO TÉCNICO

EJERCICIO 2.

Se propone trazar una autovía que pasa entre varios núcleos urbanos (Pueblos A, B, C y D) cada uno señalado con sus coordenadas (x,y). Debido al ruido y a la contaminación que genera la autovía, los diferentes pueblos se han puesto de acuerdo para que la carretera pase por el medio, y nunca esté más cercana a uno que a otro.


La carretera se inicia en el punto medio entre el pueblo A y B. Termina en el punto medio de la distancia entre C y D. En caso de que haya que unir tramos de distinta orientación, éstos deben de estar unidos por tramos curvos de 1.2 Km de radio.


¿Cómo trazarás este recorrido?





 

GEOMETRÍA MÉTRICA: MEDIATRIZ SOBRE UN SEGMENTO

1. DEFINICIÓN

El conjunto de puntos que son equidistantes a los extremos de un segmento permite obtener un lugar geométrico enormemente importante, el cual se emplea en numerosos casos de geometría métrica. Este lugar geométrico lo llamamos mediatriz o simetral.






Todo este conjunto de puntos conforman la mediatriz y forman una recta que es perpendicual al segmeto base por su centro. Esta propiedad permite definir la recta mediatriz de un segmento, como la recta perpendicual a un segmento que pasa por su centro (C).





2. CONSTRUCCIÓN DE LA MEDIATRIZ

Cualquier punto de la mediatriz se sitúa a igual distancia de los puntos A y B. Al desplazarse a lo largo de la mediatriz la distancia a los puntos va variando pero siempre es la misma. Este concepto permite s construcción elemental para, dada la recta a, determinar dos puntos que equidisten de sus extremos. Para su construcción debemos seguir los pasos siguientes:

a) Con el compás, haciendo centro en el extremo A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto. Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan, significa que debemos aumental el radio de ambas





b) Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias (P1, P2) es la mediatriz del segmento AB. La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio C.




Como resultado se obtiene una recta considerada como eje de simetría entre los puntos A y B.



3. SU IMPORTANCIA EN LA GEOMETRÍA

La mediatriz es uno de los elementos más empleados en geometría métrica para configurar lugares geométricos. Repasando algunos de los temas que se han dado en la clase:

a) Determinar una circunferencia que pasa por 3 puntos: esto se puede resolver sabiendo que la mediatriz de una cuerda de cualquier circunferencia pasa necesariamente por el centro de la misma.







b)  Construcción de arcos capaces: basándonos en lo descrito en el apartado a, para la construcción del arco se busca la intersección del lugar geométrico del centro de la circunferencia (mediatriz de la cuerda) con el ángulo complementario que forman los lados del tercer vértice.






c)  Propiedades de triángulos: en relación directa con el arco capaz, podemos decir que en todo triángulo ABC las mediatrices de sus tres lados concurren en un mismo punto, llamado circuncentro (O) del triángulo. Dicho punto equidista de los vértices del triángulo. La circunferencia de centro O y de radio OA, pasa por los otros dos vértices del triángulo. Se dice que dicha circunferencia es circunscrita al triángulo y que el triángulo está inscrito en la circunferencia.

Triángulo rectángulo




         Triángulo obtusángulo



         Triángulo acutángulo




En el caso de triángulos isósceles, el ortocentro, baricentro, incentro y el circuncentro, se encuentran alineados en la mediatriz de la base.

Como hemos visto, en este tipo de triángulos, a través de la mediatriz podemos calcular el punto circuncentro. Pero también podemos calcular este punto a través de la altura del triángulo. Para ello podemos emplear la construcción del arco capaz y determinar su ángulo central, el cual tendrá su vertice superior en el circuncentro del triángulo.



De esta forma podemos decir que el vértice del ángulo central del triángulo isósceles coincide con el circuncentro de dicho triángulo.


Con el transcurso de la asignatura iremos viendo muchos otros ejemplos de la implicancia de la mediatriz en las relaciones geométricas.

Os invito desde aquí a que vayamos coleccionando todos los casos que nos vayan apareciendo.